具有加权 Sobolev 初始数据的混合薛定谔方程的长时间渐近行为

我们应用 $\bar{\partial}$ 最速下降法，在加权 Sobolev 空间 $q_0(x) \in H^{2,2}(\mathbb{R})$ 中对初始数据作本质上最小正则性假设的条件下，获得混合薛定谔方程 $$q_t+iq_{xx}-ia (\vert q \vert^2q)_x -2b^2\vert q \vert^2q=0,$$ $$q(x,t=0)=q_0(x),$$ 的尖锐渐近性。在渐近表达式中，主导项 $\mathcal{O}(t^{-1/2})$ 来自色散部分 $q_t+iq_{xx}$，误差项 $\mathcal{O}(t^{-3/4})$ 来自 $\overline\partial$ 方程。