二维随机Burgers方程的$(\log t)^\frac{2}{3}$超扩散性

随机Burgers方程在[H. van Beijeren, R. Kutner and H. Spohn, Excess noise for driven diffusive systems, PRL, 1985]中被引入，作为非对称简单排他过程涨落的连续近似。其形式为$$\partial_t\eta =\frac{1}{2}\Delta\eta+ \mathfrak w\cdot\nabla(\eta^2) + \nabla\cdot\xi,$$ 其中$\xi$是$d$维时空白噪声，$\mathfrak w$是一个固定的非零向量。在临界维度$d=2$的稳态下，我们证明该系统表现出超扩散行为：更具体地说，其体扩散系数在Tauberian意义下表现为$(\log t)^\frac23$，最多有$\log\log\log t$的修正。这证实了物理学文献中的一个预测，并补充了[G. Cannizzarro, M. Gubinelli, F. Toninelli, Gaussian Fluctuations for the stochastic Burgers equation in dimension $d\geq 2$, CMP, 2024]中在弱耦合区域对同一方程的研究。此外，该模型可被视为[H.T. Yau, $(\log t)^\frac{2}{3}$ law of the two dimensional asymmetric simple exclusion process, Annals of Mathematics, 2004]的连续类似物。