确定性与随机分数阶 Burgers 方程中的奇性形成

本研究的动机是探究非线性耗散偏微分方程中奇性形成及其他极端行为如何受随机激励影响。为解答此问题，我们考虑带加性色噪声的一维分数阶 Burgers 方程作为模型问题。该系统有趣之处在于，在确定性情形下，它根据分数阶耗散指数的取值表现出有限时间爆破或整体适定行为。该问题通过结合谱精度空间离散与蒙特卡洛方法的一系列精确数值计算进行研究。首先，我们仔细记录了超临界 regime 中确定性系统的奇性形成，其中爆破时间显示为分数阶耗散指数的递减函数。我们关于随机问题的主结果是：没有证据表明噪声通过抑制超临界 regime 中的爆破来正则化演化，也没有证据表明噪声在亚临界 regime 中触发爆破。然而，随着噪声幅值变大，超临界 regime 中的爆破时间显示出日益非高斯的行为。对于亚临界 regime 中达到的涡量最大值及其出现时间，也作出了类似的观测。