随机伯格斯流中的瞬态增长

本研究考虑受随机强迫的伯格斯（Burgers）方程解所展现的极端行为问题。更具体地，我们关注“涡量拟能”（enstrophy，即解的 Sobolev $H^1$ 半范数）所能达到的最大增长，作为初始涡量拟能 $\mathcal{E}_0$ 的函数，尤其是探究在随机情形下该增长是否与 Ayala \& Protas (2011) 所考虑的确定性情形不同。该问题源于关于噪声对流体力学模型中可能奇点形成之影响的疑问。随机问题中的主要感兴趣量为涡量拟能的期望值与解之期望值的涡量拟能。随机伯格斯方程采用蒙特卡洛（Monte Carlo）采样方法数值求解。通过研究一系列最优初始数据与不同噪声幅度下获得的解，我们揭示了不同的解行为，并证明这两个量始终将确定性解的涡量拟能夹在中间。关键发现是，涡量拟能的期望值对初始涡量拟能 $\mathcal{E}_0$ 呈现出与确定性情形所报道的相同幂律依赖关系。这表明随机激励并未使极端涡量拟能增长超出确定性情形中已观测到的范围。