粘性 Burgers 方程中的涡度增长

我们研究了单位圆上粘性 Burgers 方程解的涡度增长界限。利用 Lu 和 Doering 的变分公式，我们证明了在涡度较大的极限下，涡度变化率的最大化者在数值常数范围内是尖锐的，但并未饱和均值为零的 1-周期函数的 Poincaré 不等式。利用动力系统方法，我们在大涡度极限下给出了最大化者的渐近表示，即线性稀疏波背景上的粘性激波。该渐近构造用于证明，当粘性 Burgers 方程的初始数据在数值常数范围内饱和 Poincaré 不等式时，可以实现更大的涡度增长。我们构造了一个精确的自相似解来描述线性稀疏波背景上亚稳态粘性激波的形成。当我们考虑在无限直线上受非零（激波型）边界条件约束的 Burgers 方程时，我们证明了时间演化中达到的最大涡度按 $\mathcal{E}^{3/2}$ 缩放，其中 $\mathcal{E}$ 为较大的初始涡度，而达到最大涡度所需的时间按 $\mathcal{E}^{-1/2} \log(\mathcal{E})$ 缩放。在单位圆上也证明了类似但较慢的速率。