大尺度不可压缩流输运扩散场的局地传递与谱

本研究重新审视了在存在（大尺度）源的情况下，大尺度不可压缩流中扩散标量场的平流传递与谱问题。所谓“大尺度”是指流的谱支撑被限制在波数区域$k<k_d$，其中$k_d$相对于扩散波数$k_\kappa$较小。这样的流仅介导彼此相距$k_d$以内的相邻波数之间的耦合。研究发现，标量方差穿过高波数$k>k_d$的谱输运率（通量）的上界为$Uk_dk\Theta(k,t)$，其中$U$表示最大流体速度，$\Theta(k,t)$是标量方差谱，定义为其在壳层$(k-k_d,k+k_d)$上的平均值。对于穿过$k>k_d$的给定通量，例如$\vartheta>0$，该界要求$$\Theta(k,t)\ge \frac{\vartheta}{Uk_d}k^{-1}.$$ 这与最近的数值研究以及Batchelor的理论一致，后者预测粘性对流范围（可识别为$(k_d,k_\kappa)$）的$k^{-1}$谱（比例常数略有不同）。因此，方差谱的Batchelor公式通过本方法以临界下界的形式被恢复。本结果适用于空间维度$\ge2$的广泛大尺度平流问题，包括某些湍流滤波模型，其中湍流速度场由其平滑版本平流。对于这种情况，$\Theta(k,t)$和$\vartheta$分别是动能谱和动能通量。