Batchelor--Howells--Townsend谱：三维情形

给定速度场$u(x,t)$，我们考虑被动示踪物$\theta$的演化，其由$\partial_t\theta + u\cdot\nabla\theta = \Delta\theta + g$控制，其中源$g(x)$与时间无关。当$\|u\|$在某种意义下较小时，Batchelor、Howells和Townsend(1959, J. Fluid Mech. 5:134；下称BHT)预测示踪物谱按$|\theta_k|^2\propto|k|^{-4}|u_k|^2$标度。继我们近期关于二维情形的工作之后，本文我们证明BHT标度在概率意义下、对大波数和足够小的随机合成三维不可压缩速度场$u(x,t)$渐近成立。我们还放宽了关于速度和示踪物源的一些假设，允许二者具有有限方差，并允许后者具有全功率谱。