有限相关时间下 Batchelor 区中的被动标量混合与衰减

Kraichnan 给出了一个优雅的被动标量混合模型，假设速度在时间上 delta 相关。我们利用更新流推广该模型以包含有限相关时间 $\tau$ 的效应。由此得到的 3-D 被动标量谱 $\hat{M}(k,t)$ 或其关联函数 $M(r,t)$ 的方程在 $\tau \to 0$ 时给出 Kraichnan 方程，并将其扩展到 $\tau$ 的下一阶。它涉及 $M$ 或 $\hat{M}$ 的三阶和四阶导数（在高 $k$ 极限下）。对于小 $\tau$，可利用 Landau-Lifshitz 方法将其改写为至多包含 $\hat{M}$ 二阶导数的方程。我们给出了该方程忽略扩散的标度解以及包含扩散效应的更精确解。我们表明稳态 1-D 被动标量谱在黏性-对流极限下保持 Batchelor 形式 $E_\theta(k) \propto k^{-1}$，且与 $\tau$ 无关。该结果也可使用拉格朗日方法以一般方式获得。有趣的是，在无源情况下，当被动标量涨落衰减时，我们表明在 Batchelor 区且晚期的谱形式为 $E_\theta(k) \propto k^{1/2}$，同样与 $\tau$ 无关。更一般地，有限 $\tau$ 不会定性改变衰减期间谱的形状，尽管衰减率降低了。从高分辨率 ($1024^3$) 被动标量混合与衰减的直接数值模拟中，我们发现稳态下与 Batchelor 谱的预测有合理一致。衰减期间的标量谱在能量主要位于对应 Batchelor 区的波数时与解析预测定性一致，但当箱尺度涨落在衰减中占主导时则较平缓（删节）。