随机 Navier-Stokes 方程对被动标量的几乎必然指数混合

我们推导出由随机强迫的二维 Navier-Stokes 方程和三维超黏性 Navier-Stokes 方程在 $\mathbb T^d$ 中受非退化 $H^\sigma$ 正则噪声（对任意充分大的 $\sigma$）的解所平流的被动标量的几乎必然指数快速混合。即，对所有 $s > 0$，存在一个确定性指数衰减率，使得所有零均值 $H^s$ 被动标量以该同一速率在 $H^{-s}$ 中衰减，且概率为 1。这等价于动力系统文献中所谓的\emph{淬灭相关衰减}。这是我们先前工作的后续，该工作建立了 Lagrangian 流的 Lyapunov 指数为正——一般而言，几乎必然指数混合远比此更强。我们的方法也适用于根据有限维流体模型演化的速度场，例如 Navier-Stokes 或 Stokes 方程的 Galerkin 截断并带有非常退化的强迫。对所有 $0 \leq k < \infty$，我们给出了许多 $C^k_t C^\infty_x$ 随机速度场为几乎必然指数快速混合子的例子。