局部分布混沌

在离散动力系统 $(X, f)$ 中，其中 $X$ 为拓扑空间且 $f \in C(X,X)$，定义了三种分布混沌概念。它们记为 $DC1, DC2$ 和 $DC3$。对于区间系统，这三种概念重合，记为 DC-混沌。一般而言我们有 $DC1 \subseteq DC2 \subseteq DC3$-混沌。我们思考混沌是否可能集中于某些点，并发展分布混沌的局部概念。为回答此问题，[12] 中引入了 $DCi$-点的新概念（$i = 1,2,3$）。此类特殊点即为不同类型 DC-混沌集中的点。同样在 [12] 中证明了，若 $f$ 是具有正拓扑熵的连续区间映射，则系统中至少存在一个 DC1-点。本文证明了在符号空间 $(\Sigma, \sigma)$ 中，其中 $\sigma$ 为移位映射，$\Sigma$ 的每一点都是 DC1-点。该结果对证明本文主要结果之一是必要的。若区间系统满足 $h(f) > 0$，则其具有不可数的 DC1-点集，且该集可选为完备集。在维数大于一时，我们处理 $I^{2}$ 上的三角系统。此时拓扑熵与不同分布混沌情形间的关系尚不清晰，可能出现若干不同结果。文中我们利用 [9] 中 Kolyada 给出的 $F$ 的例子证明相应的二维系统 $(I^{2}, F)$ 具有正拓扑熵但不含 DC2-点，证明了不存在 DC2-混沌的集中。