分布混沌的迭代问题

我们否定了分布混沌 3 型（简称 DC3）在迭代下不变的猜想，并证明了一个稍加强化的定义 DC2½ 在迭代下保持不变，即 $f^n$ 是 DC2½ 当且仅当 $f$ 是。与 DC3 不同，DC2½ 也是共轭不变的，并且蕴含 Li-Yorke 混沌。DC2½ 的定义如下：数对 $(x,y)$ 是 DC2½ 当且仅当 $\Phi_{(x,y)}(0)<\Phi^*_{(x,y)}(0)$，其中 $\Phi_{(x,y)}(\delta)$（resp. $\Phi^*_{(x,y)}(\delta)$）是满足 $d(f^k(x),f^k(y))<\delta$ 的时刻 $k$ 的下密度（resp. 上密度），两者均在 0 处定义为 $\delta\to 0^+$ 时其取值的极限。因此，DC2½ 与 DC1 和 DC2 共享相似的性质，但与它们不同的是，严格 DC2½ 系统必具有零拓扑熵。