无限维随机动力系统沿任意无穷序列的均值 Li-Yorke 混沌

本文研究无限维随机动力系统沿任意无穷正整数序列的均值 Li-Yorke 混沌现象。确切地说，我们证明：若一个单射连续无限维随机动力系统 $(X,\phi)$ 作用于可逆遍历 Polish 系统 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},\theta)$ 上，且容许一个 $\phi$-不变的随机紧子集 $K$ 满足 $h_{top}(K,\phi)>0$，则给定正整数序列 $\mathbf{a}=\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 且 $\lim_{i\to+\infty}a_i=+\infty$，对 $\mathbb{P}$-a.s. $\omega\in\Omega$ 存在不可数子集 $S(\omega)\subset K(\omega)$ 与 $\epsilon(\omega)>0$，使得对任意相异点 $x_1$, $x_2\in S(\omega)$ 满足如下性质 \begin{align*} \liminf_{N\to+\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} d\big(\phi(a_i, \omega)x_1, \phi(a_i, \omega)x_2\big)=0,\quad\limsup_{N\to+\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} d\big(\phi(a_i, \omega)x_1, \phi(a_i, \omega)x_2\big)>\epsilon(\omega), \end{align*} 其中 $d$ 是 $X$ 上的一个相容完备度量。