测度论混沌 (Chaos au sens de la mesure)

我们为标准概率空间上的遍历保测系统定义了新的同构不变量，称为测度论混沌和测度论$^+$混沌。这些概念是拓扑混沌 {\rm DC2} 及其稍强版本（我们记为 {\rm DC}{\small$1\tfrac12$}）的类比。我们证明：1. 如果一个拓扑动力系统关于其至少一个遍历测度是测度论（测度论$^+$）混沌的，则它在拓扑意义下是 {\rm DC2}（{\rm DC}{\small$1 \tfrac12$}）混沌的。2. 每个具有正 Kolmogorov--Sinai 熵的遍历系统都是测度论$^+$混沌的（甚至在稍强的一致意义下）。我们给出了一个例子表明后一命题不可逆，即一个熵为零但具有一致测度论$^+$混沌的系统。\bigskip \centerline{\bf R\'esum\'e} Nous introduisons de nouveaux invariants pour les syst\`emes dynamiques d\'efinis sur des espaces probabilis\'es standards, appel\'es respectivement {\rm chaos mesur\'e} et {\rm chaos$^+$ mesur\'e}. Ces notions sont des analogues du chaos topologique {\rm DC2} et de l'une de ses variantes, renforc\'ee, que nous appelons {\rm DC}{\small$1 \tfrac12$}. Nous montrons d'une part que si un syst\`eme dynamique topologique est chaotique (resp. chaotique$^+$) au sens da la mesure relativement \`a\ l'une de ses mesures invariantes ergodiques, alors il l'est du point de vue topologique au sens correspondant. Nous montrons que tout syst\`eme ergodique d'entropie m\'etrique positive est chaotique$^+$ au sens de la mesure (m\^eme en un sens plus fort, i.e. {\rm uniform\'ement}). Nous donnons enfin un exemple de syst\`eme dynamique topologique d'entropie nulle qui pr\'esente pour l'une de ses mesures invariantes ergodiques un chaos$^+$ mesur\'e uniforme.