分数阶常微分方程的局部间断 Galerkin 方法

本文讨论了用于单项/多项分数阶常微分方程 (FODEs) 的上风局部间断 Galerkin 方法。针对 FODEs 初值问题的数值通量的自然上风选择确保了方法的稳定性。解可以逐单元计算，在 $L^2$ 范数下具有 $k+1$ 的最优收敛阶，并在每个单元的下风点处具有 $k+1+\min\{k,\alpha\}$ 阶的超收敛性。这里 $k$ 是单元中使用的逼近多项式的次数，$\alpha$ ($\alpha\in (0,1]$) 代表单项 FODEs 的阶数。这一方法的推广包括经典的 $m$ 项 FODEs 问题，在下风点产生的超收敛阶为 $k+1+\min\{k,\max\{\alpha,m\}\}$。文中讨论了超收敛性的潜在机制，并通过实例证实了分析结果，包括如何将该方案作为一种有效方法来评估广义 Mittag-Leffler 函数以及求解更广义的 FODEs。