离散观测下 Cox-Ingersoll-Ross 过程的局部渐近性质

本文考虑一个一维 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 过程，其漂移系数依赖于未知参数。考虑到过程以高频离散观测，我们证明了亚临界情况下的局部渐近正态性、临界情况下的局部渐近二次性以及超临界情况下的局部渐近混合正态性。为获得这些结果，我们使用了 Al\`os 等人 \cite{AE08} 和 Altmayer 等人 \cite{AN14} 近期为 CIR 过程开发的马里亚文演算技术，以及 Bossy 等人 \cite{BD07} 和 Ben Alaya 等人 \cite{BK12,BK13} 得到的 CIR 过程正负矩的 $L^p$ 范数估计。本研究要求与 Gobet \cite{G02} 早先研究的全局 Lipschitz 系数遍历扩散相同的高频条件 $\Delta_n\rightarrow 0$ 和无限时域条件 $n\Delta_n\rightarrow\infty$。然而，在非遍历情况下，由于 CIR 过程的平方根扩散系数不够正则，需要对 $\Delta_n$ 的衰减速率做额外假设。具体而言，我们假设临界情况下 $n\Delta_n^{3}\to 0$，超临界情况下 $\Delta_n^{2}e^{-b_0n\Delta_n}\to 0$。