扩散过程两个局部时间的联合分布及其在各类条件过程构造中的应用

对于漂移为$\mu(x)$、扩散系数为$D=1/2$的扩散过程$X(t)$，我们研究了在位置$x=0$和$x=L$处的两个局部时间$A(t)= \int_{0}^{t} d\tau \delta(X(\tau))$和$B(t)= \int_{0}^{t} d\tau \delta(X(\tau)-L)$的联合分布，以及它们之和$\Sigma(t)=A(t)+B(t)$的较简单统计。它们在长时间$t \to + \infty$下的渐近统计涉及两类非常不同的情况：（i）当扩散过程$X(t)$为暂态时，两个局部时间$[A(t);B(t)]$保持为有限随机变量$[A^*(\infty),B^*(\infty)]$，我们分析其极限联合分布；（ii）当扩散过程$X(t)$为常返时，我们描述两个强度局部时间$a = \frac{A(t)}{t}$和$b = \frac{B(t)}{t}$及其强度之和$\sigma = \frac{\Sigma(t)}{t}=a+b$的大偏差性质。这些性质随后被用于构造满足涉及两个局部时间的某些约束的各种条件过程$[X^*(t),A^*(t),B^*(t)]$，从而推广了我们先前关于针对单一局部时间$A(t)$进行条件化的工作[arXiv:2205.15818]。特别是在无限时间视界$T \to +\infty$下，我们考虑朝向有限渐近值$[A^*(\infty),B^*(\infty)]$或$\Sigma^*(\infty)$的条件化，以及朝向强度值$[a^*,b^*]$或$\sigma^*$的条件化，后者可与基于大偏差 regime 下局部时间生成函数的适当“正则条件化”相比较。这一一般构造随后被应用于无 conditioned 扩散为具有均匀漂移$\mu$的布朗运动这一最简单情形。