局部与非局部临界增长各向异性准线性椭圆系统

本文证明了一种通过亚临界扰动项耦合的临界增长各向异性准线性椭圆系统的新型重数结果。我们识别了该系统的特定标度及与之相关的参数 $\gamma$，该参数决定了相关变分泛函的几何结构。这导致了对系统不同非线性情形的自然分类，以扰动项的标度特性为依据。我们给出三种不同类型的重数结果，分别对应 $\gamma=1$、$\gamma>1$ 和 $\gamma<1$ 三种情形。我们的重数结果的证明基于一种用于对称泛函在乘积空间上的新型抽象临界点定理，我们通过 Fadell 与 Rabinowitz 的 Z₂ 同伦指数的穿透性来证明。该抽象结果仅要求局部（PS）条件，因而适用于具有临界增长的系统。它本身独具意义，具有广泛适用性，可应用于许多不同类型的临界椭圆系统。我们还指出如何应用该方法获取非局部系统的类似重数结果。