量子洛伦兹群几何导出的格点上的Liouville量子力学

我们考虑量子Lobachevsky空间 ${\bf L}_q^3$，它被定义为Hopf代数 ${\cal A}_q(SL_2({\bf C}))$ 的子代数。Podles和Woronowicz引入的 ${\cal A}_q(SL_2({\bf C}))$ 的Iwasawa分解允许我们在 ${\bf L}_q^3$ 上考虑horospheric坐标的量子类比。Casimir元（属于 ${\cal A}_q$ 的对偶量子群 $U_q(SL_2({\bf C}))$）在这些坐标下对 ${\bf L}_q^3$ 中某个子空间的作用，导致一维无限格点上的二阶差分算子。在连续极限 $q\rightarrow 1$ 下，它转化为描述Liouville场论中零模的Schrödinger哈密顿量（Liouville量子力学）。我们计算了该算子的谱（Brillouin区）和本征函数。它们是 $q$-连续Hermit多项式，是Macdonald或Rogers-Askey-Ismail多项式的特例。该问题中的散射对应于 $Z_N$ Baxter模型中前两级 dressed 激发的散射，处于各向异性参数 $\ga$ 和 $N~\rightarrow\infty$ 的非常特殊极限，或等价地，$(\ga, N)\rightarrow 0$。