余各向同性子流形形变问题中的 Liouville 现象

Oh 和 Park ([OP]) 关于余各向同性子流形形变问题的工作，开启了利用一些显式几何工具研究一大类有趣叶状结构的可能性。这些工具构成了移位叶状复形 ($\Omega^*[1](\fol), d_\fol)$ 上的 $L_\infty$ 代数结构，从而允许用 Maurer-Cartan 方程简洁地描述形变。无穷小形变由 $d_\fol$-闭形式给出，而无穷小形变与完全形变之间的关系可以通过位于叶状上同调 $H^*_\fol$ 中的阻碍类来研究。与叶状上同调密切相关的是 Haefliger 群 $\Omega^*_c(T/H)$，这是一个被低估的叶状结构叶空间模型。我们在证明阻碍方程的可解性与不可解性时充分利用了该群。我们还表明，$L_\infty$ 工具能够探测 KAM 理论中的 Liouville/丢番图区分，并论证了 Haefliger 的沿叶积分映射在将这种精细结构传递到叶空间的几何模型方面具有更重要的意义。