完备 $L_\infty$-代数及其同伦理论

我们分析了用于代数与代数几何形变理论应用的完备滤过 $L_\infty$-代数的同伦理论模型。我们给出了 E. Getzler 一个未发表结果的显式证明,该结果表明此类 $L_\infty$-代数与保持滤过的 $\infty$-态射所构成的范畴 $\hat{\mathsf{Lie}}_\infty$ 容许作为同伦理论的纤维对象范畴(CFO)之结构。我们方法的新应用包括同伦拉回的显式模型,以及 Whitehead 定理的类似物:在某些温和条件下,$\hat{\mathsf{Lie}}_\infty$ 中每个滤过 $L_\infty$-拟同构都具有保持滤过同伦逆。此外,我们证明了单形 Maurer--Cartan 函子(将 $\hat{\mathsf{Lie}}_\infty$ 中每个 $L_\infty$-代数指派为一个 Kan 单形集)是相应 CFO 之间的正合函子。最后,我们针对通过 $\infty$-态射提升 Maurer-Cartan 元素这一一般问题给出了阻碍理论。阻碍类位于相应切映射的伴随分次映射锥中。