关于任意特征域上 $A_\infty$-代数的 Goldman-Millson 定理

完备滤过 $A_\infty$-代数对非交换背景下的某些形变问题建模。群表示的形式形变理论是一个经典例子。考虑到此类应用，我们给出了 Maurer-Cartan 理论中针对 $L_\infty$-代数的若干关键定理的 $A_\infty$ 类比。与 $L_\infty$ 情形不同，我们的结果在任意特征的域上均成立。我们首先利用一些抽象的同伦代数，给出 $A_\infty$-Goldman-Millson 定理的简洁证明：将单纯集 $\mathcal{N}_{\bullet}(A)$ 赋予 $A_\infty$-代数 $A$ 的 Nerve 函子，将滤过拟同构映为同伦等价。随后我们用上同调代数 $H(A)$ 及其拟可逆元素群刻画了 $\mathcal{N}_\bullet(A)$ 的同伦群。最后，我们回到特征零情形，并证明 $A$ 的 Nerve 同伦等价于其交换子 $L_\infty$-代数的单纯 Maurer-Cartan 集。这回答了 N. de Kleijn 与 F. Wierstra 在 arXiv:1809.07743 中提出的问题。