后 Lie 代数的 homotopy 理论

本文研究后 Lie 代数的 homotopy 理论。依据 Koszul 对偶理论，我们考虑由 $V$ 生成的无限小graded cocommutative cotrialgebra的 coderivations构成的graded Lie代数。我们证明，当 $V$ 为无graded向量空间 $W$ 的移位时，此graded Lie代数的 Maurer-Cartan 元素恰好是 $W$ 上的后 Lie 代数结构。随后定义后 Lie 代数的 cohomology，使用 Maurer-Cartan 扭转。后 Lie 代数的第二 cohomology 群可被解释为无限小变形的等价类。接着我们定义后 Lie$_\infty$ 代数结构于graded向量空间为上述graded Lie代数的 Maurer-Cartan 元素。后 Lie$_\infty$ 代数 admits 一种有用的特征化方式，表述为 $L_\infty$-action(或开放-闭式homotopy Lie 代数)。最后，我们引入开放-闭式homotopy Lie 代数上的 homotopy Rota-Baxter 算子概念，证明某些 homotopy Rota-Baxter 算子诱导出后 Lie$_\infty$ 代数。