格点上三粒子薛定谔算子本征值个数的渐近性

我们考虑三维格点 $\Z^3$ 上三量子力学粒子(两个全同费米子与一个玻色子)系统的哈密顿量,粒子间通过零程吸引势相互作用。我们描述了三粒子离散薛定谔算子 $H_{\gamma}(K)$ 的本质谱的位置与结构,其中 $K$ 为总准动量,$\gamma>0$ 为费米子与玻色子的质量比。对于 $\gamma>0$ 我们选取相互作用 $v(\gamma)$ 使得由一个费米子与一个玻色子组成的系统具有零能共振。我们证明对任意 $\gamma> 0$ 算子 $H_{\gamma}(0)$ 存在无穷多个本征值。对于位于 $z<0$ 以下的本征值个数 $N(0,\gamma; z;)$ 我们建立如下渐近式 $$\lim_{z\to 0-}\frac{N(0,\gamma;z)}{\mid \log \mid z\mid \mid}={U} (\gamma) .$$ 此外,对于准动量的所有非零值 $K \in T^3$,我们建立了 $H(K)$ 在本质谱底以下本征值个数 $N(K,\gamma;\tau_{ess}(K))$ 的有限性,并给出了零以下本征值个数 $N(K,\gamma;0)$ 的渐近式。