格点上双粒子薛定谔算子的阈值效应

我们考虑一类广泛的、具有固定双粒子准动量 $k$ 在 $d$ 维环面 $\mathbb{T}^d$ 上的双粒子薛定谔算子 $H_{\mu}(k)=H_{0}(k)+\mu V, \,\mu>0,$，该算子与 $d$ 维超立方格点 $\mathbb{Z}^d$ 上通过短程对势相互作用的两个全同量子力学粒子（玻色子）系统的 Bose-Hubbard 哈密顿量 $H_{\mu}$ 相关联。我们研究 $H_{\mu}(k)$ 在本质谱阈值以下的本征值的存在性，其依赖于相互作用能量 $\mu>0$ 和粒子的准动量 $k\in \mathbb{T}^d$。我们证明，阈值（本质谱的底部）作为一个奇异点（阈值共振或阈值本征值），在耦合常数 $\mu>0$ 和粒子准动量 $k$ 的扰动下，会在本质谱以下产生本征值。此外，我们证明，如果阈值是一个正则点，则在耦合常数 $\mu>0$ 和准动量 $k$ 的小扰动下，它不会产生任何本征值。