二维格子上两粒子算子中的阈值共振、临界耦合与特征值界限

我们研究了描述描述二维三维立方格子 $\mathbb{Z}^3$ 上两个相同玻色子的格子 Schrödinger 算子 $H_{\mu_1\mu_2}(K)$ 的一族算子，其中 $K \in \mathbb{T}^3$ 为准动量，$\mu_1, \mu_2 \in \mathbb{R}$ 分别对应于 on-site 和最近邻相互作用的耦合常数。我们证明，Hilbert 空间 $L^{2,\mathrm{e}}(\mathbb{T}^3)$ 分解为三个相互正交的子空间，每个子空间都在 $H_{\mu_1\mu_2}(0)$ 下保持不变。对 $H_{\mu_1\mu_2}(0)$ 限制于其中一个子空间的详细谱分析揭示了 $(\mu_1, \mu_2)$ 平面中两个光滑的临界曲线，将区域分开这些区域中位于本质谱谱以下特征值的数量保持恒定。对于限制于其他两个子空间的情形，我们识别了一个位于 $\mu_2$ 轴上的临界点，将其划分为具有恒定本质谱谱以下特征值数量的区间。类似地，两个额外的临界曲线和一个临界点确定了本质谱谱以上特征值数量保持恒定的区域和区间。特别是对于合适的参数值，$H_{\mu_1\mu_2}(0)$ 可能拥有最多三个位于本质谱谱下方或上方的本征态，特征值数量 $(\alpha,\beta)$ 满足 $\alpha + \beta < 3$ 或 $(\alpha,\beta) \in \{(3,0),(0,3)\}$。此处，我们所说的特征值界限意味着本征态可能位于本质谱谱之外的位置以及给定耦合参数下此类本征态的最大数量。最后，我们将分析推广到任意准动量 $K \in \mathbb{T}^3$，得到 $H_{\mu_1\mu_2}(K)$ 特征值的一般下界。