一族 $2 \times 2$ 算子矩阵的阈值分析

我们考虑一族 $2 \times 2$ 算子矩阵 ${\mathcal A}_\mu(k)$，其中 $k \in {\Bbb T}^3:=(-\pi, \pi]^3$，$\mu>0$，作用于 Fock 空间的零粒子与单粒子子空间之直和。它关联于一个由至多两个粒子组成、位于三维晶格 ${\Bbb Z}^3$ 上、通过湮灭与产生算符相互作用的系统的哈密顿量。我们求出一个集合 $\Lambda:=\{k^{(1)},...,k^{(8)}\} \subset {\Bbb T}^3$ 及耦合常数 $\mu$ 的临界值，以建立如下充要条件：要么 $z=0=\min\limits_{k\in {\Bbb T}^3} \sigma_{\rm ess}({\mathcal A}_\mu(k))$（要么 $z=27/2=\max\limits_{k\in {\Bbb T}^3} \sigma_{\rm ess}({\mathcal A}_\mu(k))$）是对于某个 $k^{(i)} \in \Lambda$ 的 ${\mathcal A}_\mu(k^{(i)})$ 的阈值本征值或虚能级。