线性稳定性与 Lazarsfeld-Mukai 丛的稳定性

设 $C$ 为一条光滑不可约射影曲线,设 $(L,H^0(C,L))$ 为 $C$ 上的一个完全且由基生成的线性系。记 $M_L$ 为求值映射 $H^0(C,L)\otimes\mathcal O_C\to L$ 的核。正合序列 $0\to M_L\to H^0(C,L)\otimes\mathcal O_C\to L\to 0$ 嵌入一个交换图中,我们称之为 Butler 图。该图自然地诱导出全局截面上的一个乘法映射 $m_W: W^{\vee}\otimes H^0(K_C)\to H^0(S^{\vee}\otimes K_C)$,其中 $W\subseteq H^0(C,L)$ 是一个子空间,$S^{\vee}$ 是子丛 $S\subset M_L$ 的对偶。当子丛 $S$ 是稳定丛时,我们证明映射 $m_W$ 是满射。当 $C$ 是 Brill-Noether 一般曲线时,我们利用 $m_W$ 的满射性给出了 $M_L$ 半稳定性的另一证明,此外我们填补了 Butler 一个不完整论证的空白:利用 $m_W$ 的满射性,我们给出了确定 $M_L$ 稳定性的条件,且该条件蕴含了 Butler 精确陈述的 $M_L$ 的著名稳定性条件。最后,我们在 $\gamma$-gonal 曲线上得到了 $M_L$ 的稳定性与 $(L,H^0(L))$ 的线性稳定性之间的等价性。