参数与随机椭圆型偏微分方程的线性集体配置及Galerkin逼近

考虑参数椭圆问题 \begin{equation} - \operatorname{dv} \big(a(y)(x)\nabla u(y)(x)\big) \ = \ f(x) \quad x \in D, \ y \in [-1,1]^\infty, \quad u|_{\partial D} \ = \ 0, \end{equation} 其中 $D \subset {\mathbb R}^m$ 是有界 Lipschitz 区域，$[-1,1]^\infty$，$f \in L_2(D)$，且扩散系数 $a$ 满足一致椭圆性假设并关于 $y$ 仿射依赖。参数变量 $y$ 可以是确定性的或随机的。本文研究的一个核心问题如下。假设我们有一个逼近性质：对于非参数问题 $- \operatorname{dv} \big(a(y_0)(x)\nabla u(y_0)(x)\big) = f(x)$ 在每个点 $y_0 \in [-1,1]^\infty$ 处，存在空间 $V:=H^1_0(D)$ 能量范数下具有某误差收敛速率的有限元逼近序列。那么在何种假设下，该序列能在 Bochner 空间 $L_\infty([-1,1]^\infty,V)$ 或 $L_2([-1,1]^\infty,V)$ 的范数下，诱导出参数椭圆问题具有相同误差收敛速率的有限元逼近序列？我们通过线性集体 Taylor、配置和 Galerkin 方法解决了该问题，这些方法分别基于参数域 $[-1,1]^\infty$ 上的 Taylor 展开、Lagrange 多项式插值和 Legendre 多项式展开。在非常弱的条件下，我们证明所有这些逼近方法给出与非参数椭圆问题有限元逼近序列相同的误差收敛速率。参数的无限变元部分完全从收敛速率中消失，仅影响常数。因此，维度灾难被线性方法打破。