Bernoulli--Laplace 瓮模型的极限轮廓

我们分析了 Bernoulli--Laplace 瓮模型向平衡态的收敛：初始时，一个瓮包含 $k$ 个红球，第二个瓮包含 $n-k$ 个蓝球；在每一步中，均匀随机选取一对球并交换它们的位置。已知当 $1 \ll k \le \tfrac12 n$ 时，截断现象发生在 $\tfrac12 n \log \min\{k, \sqrt n\}$ 处，窗口尺度为 $n$。我们通过确定极限轮廓对此进行了细化：存在一个函数 $\Phi$，使得 $$d_\mathsf{TV}\bigl( \tfrac12 n \log \min\{k, \sqrt n\} + \theta n \bigr) \to \Phi(\theta) \quad\text{as}\quad n \to \infty \quad\text{for all}\quad \theta \in \mathbb R.$$ 我们的主要技术贡献（具有独立意义）是在 $k \gg \sqrt n$ 时，用 $\mathbb R$ 上的扩散过程来近似一个重缩放链，并利用其作为高斯过程的显式分布律。