伯努利筛中占据盒子数的函数极限定理

伯努利筛是具有 stick-breaking 型随机概率的无限 Karlin “球入盒” 方案。假设放置的球数为 $n$，我们证明了在赋予 $J_{1}$- 或 $M_{1}$-拓扑的 Skorohod 空间 $D[0,1]$ 中，关于包含至多 $[n^{t}]$ 个球的盒子数 $K_{n}^{*}(t)$（$t\in[0,1]$）以及随机变量分布函数 $K_{n}^{*}(t)/K_{n}^{*}(1)$ 的若干函数极限定理（FLTs），当 $n\to\infty$。$K_{n}^{*}(t)$ 的极限过程形式为 $(X(1)-X((1-t)-))_{t\in[0,1]}$，其中 $X$ 为布朗运动、谱负稳定 L'evy 过程或逆稳定子ordinator 之一。stick-breaking 因子的小值概率决定了出现哪种替代情况。若该因子的对数可积，则 $K_{n}^{*}(t)/K_{n}^{*}(1)$ 的极限过程为 L'evy 桥。我们的方法依赖于两个新要素，特别是使我们能够省去 Poissonization-de-Poissonization 步骤，而该步骤一直是先前所有关于 $K_{n}^{*}(1)$ 研究的重要组成部分。首先，对于任意具有确定性概率 $(p_{k})_{k\ge 1}$ 的 Karlin 占据方案，我们得到了在 $t\in[0,1]$ 上一致的、用基于 $(p_{k})_{k\ge 1}$ 定义的计数函数对具有至多 $[n^{t}]$ 个球的盒子数的逼近。其次，我们证明了关于扰动随机游走在 $n\to\infty$ 时对区间 $[0,nt]$ 访问次数的若干 FLTs。