关于 Bernoulli 筛中空盒数目的研究 II

Bernoulli 筛是具有随机频率 $P_k=W_1\cdots W_{k-1}(1-W_k)$ 的无穷「盒中球」占位方案,其中 $(W_k)_{k\in\mathbb{N}}$ 是取值于 $(0,1)$ 的随机变量 $W$ 的独立同分布副本。设投入的球数为 $n$,记 $L_n$ 为占位范围内空盒的数目。本文研究在先前工作中尚未解决的两种情形下 $L_n$ 的依分布收敛。具体而言,若 $\mathbb{E}|\log W|=\mathbb{E}|\log(1-W)|=\infty$ 且 $W$ 的分布在 0 与 1 的邻域内赋予可比拟的质量,则可证明 $L_n$ 弱收敛于几何分布。该结果可作为关于非增 Markov 链零减步数的一个更一般命题的推论得出。在 $\mathbb{E}|\log W|<\infty$ 且 $\mathbb{E}|\log(1-W)|=\infty$ 的情形下,我们进一步推导出 $L_n$ 依分布收敛的若干可能模式。结果表明,经适当归一化与中心化后,$L_n$ 的可能极限律类包括正态律与具有有限均值的谱负稳定律。在研究第二个问题的过程中,我们还建立了关于更新型冲击噪声过程弱收敛的一般性结果,从而回答了 Mikosch 与 Resnick(2006)所提出的一个问题。