进行 $o(n)$ 次交换的 Bernoulli-Laplace 瓮模型的截断现象

我们研究 $(n,k)$ Bernoulli--Laplace 瓮模型的混合时间，其中 $k\in\{0,1,\ldots,n\}$。考虑两个瓮，每个含 $n$ 个球，使得合并后恰有 $n$ 个红球与 $n$ 个白球。在该过程的每步中，均匀随机地从左瓮选取 $k$ 个球并从右瓮选取 $k$ 个球并同时交换。我们证明若 $k=o(n)$，该马尔可夫链在 $\frac{n}{4k}\log n$ 处展现出混合时间截断，且窗口阶为 $\frac{n}{k}\log\log n$。这是对 Diaconis 与 Shahshahani 所处理 $k=1$ 情形的经典定理的推广。