与半单李代数相关的 Lie-Poisson 铅笔：迈向分类

设$\mathfrak{g}$为一个向量空间，$[,]$和$[,]'$为$\mathfrak{g}$上的一对李括号。根据定义，如果$[,]+[,]'$仍然是一个李括号，则称它们是相容的。此类对在可积系统理论的双哈密顿和$r$-矩阵形式体系中起着重要作用。我们提出了一种方法来解决一个长期存在的问题，即当其中一个括号（例如$[,]$）为半单时，对此类对进行分类。已知任何此类对均由$(\mathfrak{g},[,])$上的一个线性算子确定，该算子在加上一个导子后定义唯一。我们提出了一种特殊固定该算子的方法以消除这种歧义，并考虑了相对于 Cartan 子代数保持根分解的算子。分类导致了两类不相交的对，这取决于相应算子关于 Killing 型的对称性质。在每一类中，我们恢复了已知示例并获得了新的示例。我们列出了每种情况的示例列表，并猜想这些列表的完备性。