短 Artin 局部环上模的长度

设 $(A,\mathfrak{m})$ 为一个短 Artin 局部环（即 $\mathfrak{m}^3 = 0$ 且 $\mathfrak{m}^2 \neq 0$）。假设 $A$ 不是超曲面环。我们证明存在 $c_A \geq 2$，使得若 $M$ 为任意具有有界 Betti 数的有限生成模，则 $c_A$ 整除 $\ell(M)$（即 $M$ 的长度）。若 $A$ 不是完全交环，则存在 $b_A \geq 2$，使得若 $M$ 为任意满足 $curv(M) < \ curv(k)$ 的模，则对所有 $i \geq 1$，$b_A$ 整除 $\ell(\Omega^i_A(M))$（此处 $\Omega^i_A(M)$ 表示 $M$ 的第 $i$ 个合冲）。