由其战克形式诱导出的 ${\rm SL}(n,{\mathbb R})$ 上的左不变分布与度量哈密顿

从经典的 Lie 代数理论来看，已知双线性形式 $B(X,Y)={\rm tr}(XY)$ 定义了简单 Lie 代数 ${\mathfrak{sl}}(n,{\mathbb R})$ 上的非退化标量积。对与该标量积相关的格林矩阵 $Gr$ 进行对角化，我们发现一种 ${\mathfrak{sl}}(n,{\mathbb R})$ 的基底，即 $Gr$ 的特征向量，这种基底为 ${\rm SL}(n,{\mathbb R})$ 上的一族生成子张量分布。于是，双线性形式 $B$ 在这些分布上定义了亚伪黎曼结构。每一种几何结构自然携带着一个度量二次哈密顿。本文详细构造了这些流形，研究了不同哈密顿之间的泊松交换关系，并给出 $n=2$ 情形下相应哈密顿系统的一些显式解。