具有大量同余能量的格

1978 年，受 E. Hückel 在量子化学中工作的启发，I. Gutman 引入了有限简单图 $G$ 的能量这一概念，作为 $G$ 的邻接矩阵特征值绝对值之和。在撰写本文时，MathSciNet 以“Title=(graph energy) AND Review Text=(eigenvalue)”搜索返回 351 篇出版物，其中大多追随 Gutman 的定义。有限代数 $A$ 的一个同余 $\alpha$ 将 $A$ 变为一个简单图：当 $(x,y)\in\alpha$ 时我们将 $x\neq y\in A$ 连一条边；令 En$(\alpha)$ 为该图的能量。我们通过 CE$(A):=\sum\{$En$(\alpha): \alpha\in$ Con$(A)\}$ 引入 $A$ 的同余能量 CE$(A)$。令 LAT$(n)$ 与 CDA$(n)$ 分别表示 $n$ 元格的类与任意类型的 $n$ 元同余分配代数的类。对一类 $\mathcal X$，令 CE$(\mathcal X):= \{$CE$(A): A\in \mathcal X\}$。我们证明如下。(1) 对 $\alpha\in A$，En$(\alpha)/2$ 是 $\alpha$ 在 $A$ 的等价格中的高度。(2) CE(LAT($n$)) 中最大数与第二大的数分别为 $(n-1)\cdot 2^{n-1}$ 以及当 $n\geq 4$ 时的 $(n-1)\cdot 2^{n-2}+2^{n-3}$；这些数分别仅由链与恰有一个二元反链的格所实现。(3) CE(CDA($n$)) 中的最大数亦为 $(n-1)\cdot 2^{n-1}$，且若对某个 $A\in$ CDA$(n)$ 有 CE$(A)=(n-1)\cdot 2^{n-1}$，则 Con$(A)$ 是一个大小为 $|$Con$(A)|=2^{n-1}$ 的布尔格。