自由表面板中热力学Casimir效应的大n方法

经典$n$矢量$\phi^4$模型，具有$O(n)$对称哈密顿量${\cal H}$，在由一对平行自由表面平面分隔的$\infty^2\times L$板几何中考虑，分离距离为$L$。在$n$大极限下，计算了温度$T$在、高于和低于体临界温度$T_{\rm c}$时的过剩自由能和热力学Casimir力的温度依赖标度函数。它们的$n=\infty$极限可以精确地用自洽一维薛定谔方程的本征系统表示。通过数值方法求解该方程，针对模型的两种不同离散版本：第一种（"模型A"）仅离散化穿过板的坐标$z$，并对横向坐标共轭的动量积分进行维度正则化；第二种（"模型B"）使用沿横向方向具有周期边界条件的简单立方晶格。利用重正化群思想表明，除了$\propto L^{-1}$的标度修正外，还应出现$\propto L^{-1}\ln L$的反常修正。通过取$\phi^4$相互作用常数$g$的适当$g\to\infty$（$T_{\rm c}\to\infty$）极限，可以大大减小这些修正。根据模型A或B，它们可以完全或很大程度上被吸收到有效厚度$L_{\rm eff}=L+\delta L$中。两种模型都获得了极好的数据塌缩和一致的高精度结果。标度函数向低温Goldstone值的趋近涉及对数反常。标度函数展示了在${}^4$He润湿层变薄实验和$XY$模型蒙特卡洛模拟中观察到的所有定性特征，包括Casimir力在$T_{\rm c}$以下的显著最小值。