随机线性 Schrödinger 方程辛离散化的大偏差原理

本文考虑随机线性 Schrödinger 方程及其辛离散化的大偏差原理（LDP）。这些数值离散化包括基于谱 Galerkin 方法的空间半离散化，以及在时间方向上采用辛格式的进一步全离散化。首先，借助抽象的 Gärtner--Ellis 定理，我们证明了精确解 $u$ 的可观测量 $B_T=\frac{u(T)}{T}$（$T>0$）是指数紧的，并且在 $L^2(0, \pi; \mathbb C)$ 上满足 LDP。然后，我们给出了空间离散化 $\{u^M\}_{M\in\mathbb N}$ 的 $\{B^M_T\}_{T>0}$ 以及全离散化 $\{u^M_N\}_{M,N\in\mathbb N}$ 的 $\{B^M_N\}_{N\in \mathbb N}$ 的 LDP，其中 $B^M_T=\frac{u^M(T)}{T}$ 和 $B^M_N=\frac{u^M_N}{N\tau}$ 是 $B_T$ 的离散近似。此外，我们证明了基于时间辛格式的半离散化 $\{u^M\}_{M\in\mathbb N}$ 和全离散化 $\{u^M_N\}_{M,N\in\mathbb N}$ 均能弱渐近保持 $\{B_T\}_{T>0}$ 的 LDP。这些结果表明辛离散化具有保持随机线性 Schrödinger 方程 LDP 的能力，并首次提供了一种基于数值离散化来逼近无限维空间中 LDP 速率函数的有效方法。