大数据情形下修正型 Novikov-Veselov 系统的全局良定性

修正型 Novikov-Veselov 系统（mNV）是二维空间中的三阶非线性离散演化方程。它也是完全可积的，属于与去向非聚焦 Davey-Stewartson II（DS II）系统相同的层次结构。mNV 系统属于 $L^2$ 临界。此前，Schottdorf 证明了对于小 $L^2$ 初始数据，mNV 方程在全局意义上是良定性的。本文考虑的是大数据问题，采用反散射方法。我们的主要结果表明，mNV 系统对于大 $L^2$ 数据是全局良定性的，且解随时间趋于 $\pm \infty$ 时发生散射。作为证明中的关键要素，这一结果本身也具有独立的意义，是一个用于关联散射变换的新的非线性 Gagliardo-Nirenberg 不等式。作为我们主要结果的副产品，我们还能够在可被 heuristics 描述为无脉冲（soliton-free）的数据范围内，证明了与紧密相关的 Novikov-Veselov 问题在临界 $\dot H^{-1} + L^1$ 水平上具有全局良定性。我们使用关联的 Miura 映射将 mNV 和 NV 流相连。为了描述 Miura 映射的范围，我们证明了另一个独立兴趣的结果，即二维空间中临界情形下的锐利、尺度不变形式的 Agmon-Allegretto-Piepenbrink 原理。