帕夫洛夫方程的非局部性与逆散射变换

正如2+1维孤子偏微分方程的情况一样，可积无弥散多维偏微分方程的演化形式是非局部的，且积分常数的恰当选取应由相关的逆散射变换(IST)所决定。利用最近建立的与所谓帕夫洛夫方程 $v_{xt}+v_{yy}+v_xv_{xy}-v_yv_{xx}=0$ 相联系的向量场的严格IST，本文确立了以下结果。1. 由其演化形式 $v_{t}= v_{x}v_{y}-\partial^{-1}_{x}\,\partial_{y}\,[v_{y}+v^2_{x}]$ 产生的非局部项 $\partial_x^{-1}$ 对应于非对称积分 $-\int_x^{\infty}dx'$。2. 光滑且良好局域化的初始数据 $v(x,y,0)$ 随时间演化，对于 $t>0$ 发展出约束 $\partial_y {\cal M}(y,t)\equiv 0$，其中 ${\cal M}(y,t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \left[v_{y}(x,y,t) +(v_{x}(x,y,t))^2\right]\,dx$。3. 由于没有任何光滑且良好局域化的初始数据能在 $t=0$ 满足此约束，帕夫洛夫方程的初始($t=0+$)动力学不可能光滑，尽管如前所证，小范数解在所有正时间保持正则。我们期望本文为证明上述结果而发展的技巧，应能成功用于研究多维可积无弥散偏微分方程其他基本例子的非局部性。