半直线上 Korteweg-de Vries 方程的显式孤子渐近

直线上的可积偏微分方程可以用所谓的逆散射变换（IST）方法来分析。IST 的一个特别强大的方面是其预测解的大 $t$ 行为的能力。即，从初始数据 $u(x,0)$ 出发，IST 意味着当 $t \to \infty$，$x/t = O(1)$ 时，解 $u(x,t)$ 渐近为一组孤子的集合；而且这些孤子的形状和速度可以仅用 {\it 线性} 运算从 $u(x,0)$ 计算得到。该领域最重要的发展之一是将 IST 从初值问题推广到在半直线上表述的初边值（IBV）问题。可以证明，$u(x,t)$ 同样渐近为一组孤子，但此时这些孤子的形状和速度同时依赖于 $u(x,0)$ 和 $x = 0$ 处给定的边界条件。IBV 问题的一个主要困难是，孤子形状和速度的计算涉及求解一个 {\it 非线性} Volterra 积分方程。然而，对于某一类称为可线性化的边界条件，这一困难可以被绕过，相关计算与线上问题的情形同样有效。在此，我们在回顾 KdV 的一般理论之后，分析了三种不同类型的可线性化边界条件。对于这些情形，初始条件为：单孤子和双孤子解在 $t = 0$ 时的限制；某些指数型轮廓；盒型轮廓。对于每种情形，通过显式计算渐近孤子的形状和速度，我们阐明了边界的影响。