关于变分法中的非局部性

非局部性正在各类偏微分方程背景与变分问题中被深入研究。其数值逼近颇具挑战，且这些模型在连续介质力学与图像分析等诸多领域的应用亦然。尽管关于非局部性已积累日益深厚而基础的知识，对于变分原理仍存在诸多迄今未被触及的基本问题。受其中部分问题启发，我们描述了关于不同类别非局部变分原理的总体视角，并为此类问题分析设立一项研究纲领。我们以最简单的可能问题开启该纲领：在特定非局部性类别下的标量一维情形。即便在此简易初始情形中，人们亦发现相当出乎意料的事实，以至于关于局部经典问题的直觉不再能指引这些新问题。在所处理的特定情形下，有三个主要问题值得强调：$\bullet$ 自然底层空间涉及不同类型的非局部导数，例如分数阶Sobolev空间；$\bullet$ 极小元存在无需被积函数的凸性；$\bullet$ 最优性由极为特殊的积分方程而非微分方程表述。我们因而得以对激发本研究的初始问题给出若干具体解答。在后续论文中，我们将推进至更高维情形，其动因在于全向量高维情形弱下半连续性中可能不涉及凸性或拟凸性。