$L^p$ 傅里叶渐近、Hardy 型不等式与分形测度

假设 $\mu$ 是某个 $0<\alpha<n$ 的 $\alpha$ 维分形测度。受 R. Strichartz 于 1990 年证明的结果启发，我们通过估计 $$\underset{L\rightarrow\infty}{\liminf}\ \frac{1}{L^k} \int_{|\xi|\leq L}\ |\widehat{fd\mu}(\xi)|^pd\xi,$$（对于 $f\in L^p(d\mu)$ 且 $2<p<2n/\alpha$）来讨论 $fd\mu$ 的傅里叶变换的 $L^p$ 渐近。在另一个方向上，我们证明了一个 Hardy 型不等式，即 $$\int\frac{|f(x)|^p}{(\mu(E_x))^{2-p}}d\mu(x)\leq C\ \underset{L\rightarrow\infty}{\liminf} \frac{1}{L^{n-\alpha}} \int_{B_L(0)} |\widehat{fd\mu}(\xi)|^pd\xi$$ 其中 $1\leq p\leq 2$ 且对于 $x=(x_1,...x_n)\in\R^n$，$E_x=E\cap(-\infty,x_1]\times(-\infty,x_2]...(-\infty,x_n]$，推广了 Hudson 和 Leckband 于 1992 年证明的一维结果。