形变量子化中的 Koszul 对偶，I

设 $\alpha$ 为复数域 $\mathbb{C}$ 上有限维向量空间 $V$ 上的多项式 Poisson 双向量。Kontsevich [K97] 给出了代数 $S(V)^*$ 的量子化 $f\star g$ 的公式。我们构造了一个由 $\alpha$ 通过生成元和关系定义的具有 PBW 性质的代数。具体而言，我们将该代数定义为自由张量代数 $T(V^*)$ 模去关系 $x_i\otimes x_j-x_j\otimes x_i=R_{ij}(\hbar)$ 的商，其中 $R_{ij}(\hbar)\in T(V^*)\otimes\hbar \mathbb{C}[[\hbar]]$，$R_{ij}=\hbar \Sym(\alpha_{ij})+\mathcal{O}(\hbar^2)$，每一对 $i,j=1...\dim V$ 对应一个关系。我们证明了所构造的代数满足 PBW 性质，这是 Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt 定理的推广。在线性 Poisson 结构的情形下，我们得到了 PBW 定理本身；而在二次 Poisson 结构的情形下，我们得到了一个与 $V$ 上的量子 $R$-矩阵密切相关的对象。同时，我们得到了形变代数的自由解消（对于任意 $\alpha$）。该 PBW 代数的构造及其 PBW 性质的证明都相当简单。主要的努力应致力于证明如下猜想：以此方式得到的代数同构于 Kontsevich 星代数。