关于线性泊松结构的 Kontsevich 与 Campbell-Baker-Hausdorff 形变量子化

对于向量空间 $\g^*$ 上的 Kirillov-Poisson 结构,其中 $\g$ 是有限维李代数,已知该结构至少有两种典范形变量子化:它们分别是 M. Kontsevich 的普适公式 [K],以及由经典 Campbell-Baker-Hausdorff 公式导出的公式 [Ka]。[Ka] 中证明了后一公式恰好是 Kontsevich 公式中由所有首类顶点间无(有向)圈的可容许图构成的部分。由 CBH 定理可知,Kontsevich 公式的这一部分(在线性泊松结构情形下)定义了一个结合积。这些笔记的目的在于不使用 CBH 公式,而采用类似于 [K] 的方法直接证明这一结果。我们构造了一个 $L_\infty$-态射 $\U_\lin\colon[T^\ndot_\poly]_\lin\to D^\ndot_\poly$,从具有线性系数的多向量场 dg Lie 代数到多微分算子的 dg Lie 代数,它不等于形式性 $L_\infty$-态射 $\U\colon T^\ndot_\poly\to D^\ndot_\poly$ [K] 在子代数 $[T^\ndot_\poly]_\lin$ 上的限制。对于满足 $[\alpha,\alpha]=0$ 的具线性系数的双向量场 $\alpha$,在调和角映射 [K] 第 2 节的情形下,其在 $D^\ndot_\poly$ 中对应的 Maurer-Cartan 方程解 $\U_\lin(\alpha)$ 恰好定义了 CBH 量子化。我们也证明了受限的 Kontsevich 公式(在线性情形)对任一角映射 [K] 第 6.2 节同样具有结合性。