纽结、极小曲面与 J-全纯曲线

设 $K$ 为 3-球面中的纽结，视其为双曲 4-空间 $\mathbb{H}^4$ 的理想边界。我们证明 $\mathbb{H}^4$ 中以 $K$ 为理想边界的极小圆盘的数量是纽结不变量。即该数量是有限的，且不随 $K$ 的同位变化而改变。事实上，这给出了一族纽结不变量，由描述圆盘在 $\mathbb{H}^4$ 中外在拓扑的整数索引。这些不变量可视为计数 $\mathbb{H}^4$ 的扭子空间 $Z$ 中 $J$-全纯圆盘的 Gromov--Witten 不变量。尽管 Gromov--Witten 理论提示了定义这些不变量的总体方案，但在我们情形中具体实施存在实质性差异。这是由于 $\mathbb{H}^4$ 与 $Z$ 的几何在无穷远处均变为奇异，从而 $J$-全纯曲线方程在边界处是退化的而非椭圆的。这意味着 Fredholm 理论与紧性论证均涉及全新的特征。