John-Nirenberg 半径与共形几何中的坍塌

给定一个正函数 $u\in W^{1,n}$，我们将其在点 $x$ 处的 John-Nirenberg 半径定义为半径的上确界，使得当 $n>2$ 时 $\int_{B_t}|\nabla\log u|^n<\epsilon_0^n$，当 $n=2$ 时 $\int_{B_t}|\nabla u|^2<\epsilon_0^2$。我们将证明，在某些曲率条件下，固定共形类中的坍塌序列的该半径被一个正常数下界控制。作为应用，我们将研究具有有界 $\|K\|_{W^{1,2}}$ 的 4-流形上共形度量序列的收敛性，并证明一个广义的 H\'elein 收敛定理。