穷人的阿代尔环中的无理性与超越性问题

我们讨论与"穷人的阿代尔环" $\mathcal A$ 相关的算术问题，其元素由素数索引的序列 $(t_p)_p$ 编码，每个 $t_p$ 被视为 $\mathbb Z/p\mathbb Z$ 中的剩余。我们的主要定理是关于元素 $(F_p(q))_p$ 的 $\mathcal A$-超越性，其中 $F_n(q)$（Schur 的 $q$-Fibonacci 数）是 $2\times2$ 矩阵的 $(1,1)$ 元素：$$\bigg(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\bigg) \bigg(\begin{matrix} 1 & 1 \\ q & 0 \end{matrix}\bigg) \bigg(\begin{matrix} 1 & 1 \\ q^2 & 0 \end{matrix}\bigg) \cdots \bigg(\begin{matrix} 1 & 1 \\ q^{n-2} & 0 \end{matrix}\bigg)$$ 且 $q>1$ 为整数。该结果此前在 GRH 假设下对无平方因子的 $q>1$ 已知。