有序群的 Grothendieck 环

设 $G$ 为 $\mathbb{Q}$ 的一个真 subgroup，$S_G$ 为所有 $G$ 为 $p$-可除素数 $p$ 的集合。我们证明了有序 abelian 群 $(G;+,<)$ 的 model-theoretic Grothendieck 环是 $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})[T]/(T+T^2)$ 的商环，其中 $q$ 为所有 $p \notin S_G$ 整除 $p-1$ 的最大奇数的整数。这意味着在若干重要情形下，$(G;+,<)$ 的 Grothendieck 环都是平凡的，例如当 $S_G$ 为有限集合，或当 $S_G$ 不包含形如 $2^n+1$（$n \in \mathbb{N}$）的素数时。