通过簇倾斜子范畴构造三角范畴的Grothendieck群

设$k$为一个域，$\mathcal{C}$为一个具有分裂幂等元的$k$-线性、Hom-有限的三角范畴。本文证明在适当条件下，$\mathcal{C}$的Grothendieck群（记为$K_0(\mathcal{C})$）可表示为$\mathcal{C}$的一个高阶簇倾斜子范畴的分裂Grothendieck群的商。假设$n\geq 2$为偶数，$\mathcal{C}$是$n$-Calabi Yau的且有一个$n$-簇倾斜子范畴$\mathcal{T}$。则对$\mathcal{T}$中每个不可分解对象$M$，在$\mathcal{T}$中存在一个Auslander-Reiten $(n+2)$-角，形如$M\rightarrow T_{n-1}\rightarrow\dots\rightarrow T_0\rightarrow M$，且\begin{align*} K_0(\mathcal{C})\cong K_0^{sp}(\mathcal{T})\big/\big \langle \sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i[T_i]\mid M\in\mathcal{T} \text{ indecomposable } \big\rangle. \end{align*} 现假设$d$为正整数且$\mathcal{C}$有一个在$d$- suspension下封闭的$d$-簇倾斜子范畴$\mathcal{S}$。则$\mathcal{S}$是一个所谓的$(d+2)$-角范畴，其Grothendieck群$K_0(\mathcal{S})$可定义为$K_0^{sp}(\mathcal{S})$的某个商。我们将证明\begin{align*} K_0(\mathcal{C})\cong K_0(\mathcal{S}). \end{align*} 此外，假设$n=2d$，上述所有假设成立，且$\mathcal{T}\subseteq \mathcal{S}$。则我们的结果可结合起来将$K_0(\mathcal{S})$表示为$K_0^{sp}(\mathcal{T})$的商。